A math trick I like a lot is the approach to taking derivatives using hyperreal numbers. Thread:
-
-
This is a lot more "automatic" than setting up a limit as epsilon approaches zero and proving that the limit converges.
এই থ্রেডটি দেখান -
It might seem like cheating to just make up infinitesimal hyperreal numbers and say that we can manipulate them with the standard rules of algebra... but it turns out that such algebra rules are logically consistent if and only if the same rules for the real numbers are
এই থ্রেডটি দেখান -
Hyperreal numbers formalize some of the intuitions that Newton and Leibniz used without much formal justification in the early development of calculus. Hyperreal numbers stay much closer to the original intuition than earlier formalizations based on limits do.
এই থ্রেডটি দেখান -
There are also infinite hyperreals, larger than any real number, but I don't personally find them quite as useful for the math I need to do for machine learning research.
এই থ্রেডটি দেখান -
It is also possible to compute integrals using hyperreal numbers, but I don't personally find as much of an advantage to hyperreal numbers over limits for integration as I do in the case of derivation.
এই থ্রেডটি দেখান
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
I just came here to drop the same exact comment, LOL.


কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
This is how we were taught to take derivatives from first principles in Indian high schools and colleges because vocational degrees like engineering won't do real analysis. I didn't know there was any other way except hyperreals until recently.
-
What are the other ways ?
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
It should be 2x+eps :)
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
2 eps x / eps + eps^2 / eps = 2 x + eps = 2 x ? The derivative of x^2 via n*x^(n-1) = 2 x ...
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
Why not 2x?
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
It's still more convenient to use Frechet's derivative: you get rid of divisions, hide limits behind little-oh notation, and simply write less. Specifically, you want to find A such that f(x + h) = f(x) + Ah + o(h). E.g. (x+h)^2 = x^2 + 2xh + o(h), i.e. A=2x
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
cool - that is the binomial expansion for (x^n)'
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
Hi, thought the derivative of x^2 would be 2x instead of 2? Am I missing something here?
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
Why is it not 2x and instead 2?
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
A useful point is that it is easy to extend this to multiple variables: the same rules basically apply even when different infinitesimal numbers are combined (e.g., with dual numbers, eps*eps' = 0).
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
লোড হতে বেশ কিছুক্ষণ সময় নিচ্ছে।
টুইটার তার ক্ষমতার বাইরে চলে গেছে বা কোনো সাময়িক সমস্যার সম্মুখীন হয়েছে আবার চেষ্টা করুন বা আরও তথ্যের জন্য টুইটারের স্থিতি দেখুন।