A math trick I like a lot is the approach to taking derivatives using hyperreal numbers. Thread:
-
-
Now we can compute derivatives just by using "plug-and-chug" algebra on the expression f'(x) = real_part(f(x+epsilon) - f(x)) / epsilon) where the "real_part" function just rounds off the infinitesimal part of some expression
এই থ্রেডটি দেখান -
For example, let's take the derivative of x^2: ((x+eps)^2 - x^2) / eps = (x^2 + 2 eps x + eps^2 - x^2) / eps = 2 + eps. We round off the infinitesimal eps and are left with 2.
এই থ্রেডটি দেখান -
This is a lot more "automatic" than setting up a limit as epsilon approaches zero and proving that the limit converges.
এই থ্রেডটি দেখান -
It might seem like cheating to just make up infinitesimal hyperreal numbers and say that we can manipulate them with the standard rules of algebra... but it turns out that such algebra rules are logically consistent if and only if the same rules for the real numbers are
এই থ্রেডটি দেখান -
Hyperreal numbers formalize some of the intuitions that Newton and Leibniz used without much formal justification in the early development of calculus. Hyperreal numbers stay much closer to the original intuition than earlier formalizations based on limits do.
এই থ্রেডটি দেখান -
There are also infinite hyperreals, larger than any real number, but I don't personally find them quite as useful for the math I need to do for machine learning research.
এই থ্রেডটি দেখান -
It is also possible to compute integrals using hyperreal numbers, but I don't personally find as much of an advantage to hyperreal numbers over limits for integration as I do in the case of derivation.
এই থ্রেডটি দেখান
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
Wouldn't a number like this violate the Hausdorff requirement of metric spaces?
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
লোড হতে বেশ কিছুক্ষণ সময় নিচ্ছে।
টুইটার তার ক্ষমতার বাইরে চলে গেছে বা কোনো সাময়িক সমস্যার সম্মুখীন হয়েছে আবার চেষ্টা করুন বা আরও তথ্যের জন্য টুইটারের স্থিতি দেখুন।