Easiest to prove using the trigonometric/exponential form of complex numbers. (1-i)/(1+i)=√2exp(-iπ/4)/√2exp(iπ/4)=exp(-iπ/2) so log[(1-i)/(1+i)]=-iπ/2 and hence the result. (Of course, it's all modulo 2πi, because exp(x+2πi)=exp(x).)
-
-
-
You can also use the 'multiply by the conjugate' trick to see what the fraction is: (1-i)/(1+i)=[(1-i)/(1+i)][(1-i)/(1-i)]=(1-i)²/2=[1-2i+(-i)²]=-i. Then write -i as exp(-iπ/2), take the log and you're done.
-
Here are the numbers 1+i, 1-i and -i=(1-i)/(1+i) with their lengths/moduli and arguments drawn on the complex plane.pic.twitter.com/D50t9G8rWq
-
Is the "1" (vs "i") on the imaginary axis intentional with the message that this axis is in units of i?
-
Yes, it is. :) Good you pointed it out!
-
I may be retired, but all the math(s) has not seeped out of me yet!
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
I cant even begin to fathom how you could figure this out
-
I'm sure there'll be a
@3blue1brown video about how it's really intuitive to understand if you imagine a lighthouse placed on the edges of a regular hexagon and imagine nudging them along slightly and see what changes.... -
This made me laugh :)
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
I've never seen that tanh-1 => tan-1 manipulation, how does that happen?
-
It goes back to Euler's formula e^(ix)=cos(x)+i sin(x), which lets you express the trig functions w/ exp: sin(x)=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i, cos(x)=[e^(ix)+e^(-ix)]/2. By def sinh(x)=[e^(x)-e^(-x)]/2, cosh(x)=[e^(x)+e^(-x)]/2, so sinh(ix)=i sin(x), cosh(ix)=cos(x) and tanh(ix)=i tan(x)
-
Yup
the origin of all complex exponential forms of trig functions is Euler’s formula. Here’s a simple proof of the relation
artanh(ix) = i arctanxpic.twitter.com/91HgV0naC3
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
I believe the multiplication in the right should be (1-i)/(1+I) * (1-i)/(1-i)
-
Oh. Yup. It should be -2i/2. Luckily it lead to the same answer. Can’t believe I missed that. Thanks!
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
-
-
The irrational, the imaginary, the real and the transcendental put all together...
#lovelyধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
It can be done by integration. Just recall six things: 1+x²=(1+ix)(1-ix) ∫dx/x = lnx + c ln m - ln n = ln (m/n) ln1=0 ∫dx/(1+x²) = arctanx + c Newton-Leibniz formula So I took my time and…pic.twitter.com/XTdurd6N8c
ধন্যবাদ। আপনার সময়রেখাকে আরো ভালো করে তুলতে টুইটার এটিকে ব্যবহার করবে। পূর্বাবস্থায়পূর্বাবস্থায়
-
-
-
If he had used Tau instead of Pi; the 2 would disappear from the equation. I don't think that Tau existed in 1750 though.
-
Actually it would become a four. The rest of the equation becomes τ/4, so in order to get it, you would need to multiply by four.
-
Right you are!
কথা-বার্তা শেষ
নতুন কথা-বার্তা -
লোড হতে বেশ কিছুক্ষণ সময় নিচ্ছে।
টুইটার তার ক্ষমতার বাইরে চলে গেছে বা কোনো সাময়িক সমস্যার সম্মুখীন হয়েছে আবার চেষ্টা করুন বা আরও তথ্যের জন্য টুইটারের স্থিতি দেখুন।