関数解析bot

[54] HをHilbert空間、{φ_n}を正規直交系とするとき、以下は同値である；(i){φ_n}は正規直交基底である(ii)任意のu,v∈Hに対して(u,v)=Σ(u,φ_n)[(v,φ_n)]([]は複素共役) (iii)任意のn∈Nに対して(u,φ_n)=0ならばu=0

[29] XをBanach空間、V⊂Xを閉部分空間、f∈X'とする。V^⊥={g∈X' ; 任意のv∈Vに対してg(v)=0}と書くとき、d(f,V^⊥)=sup{f(x) ; v∈V,||v||≦1}である。

[26] Xをノルム空間とするとき、Xの単位閉球{u∈X ; ||u||≦1}はコンパクトか？

[44] XをBanach空間とするとき、以下の命題の真偽を述べよ；(i)Xが可分ならばX'も可分である。 (ii)X'が可分ならばXも可分である。

[68] Xをノルム空間とする。(1)Xが有限次元ならば、X'も有限次元である。 (2)X'が有限次元ならば、Xも有限次元である。

[49] Hを複素Hilbert空間、M⊂Hを非空な閉凸集合とするとき、(1)任意のu∈Hに対して、||u-v||=d(u,M)を満たすv∈Mがただ一つ存在する。 (2)(1)のv∈Mは、「任意のw∈Mに対してRe(u-v,w-v)≦0」で特徴づけられる。

[34] XをBanach空間とするとき、双対空間X'は汎弱位相に関してHausdorffである。

[25] Xをノルム空間、Mを非自明な閉部分空間とする。このとき、任意のε>0に対して、u∈Xであって、||u||=1かつd(u,M)≧1-εを満たすものが存在する。

[10] XをBanach空間とし、VをXの部分空間とするとき、任意のf∈V’に対して、F∈X'であって、V上F=fであり、||F||=||f||を満たすものが存在する。また、XがHilbert空間なら、Fは一意的に定まる。

[15] 有限次元ノルム空間に定まるノルムは全て同値である。

[3] XをBanach空間、CをXの凸部分集合とする。このとき、(1)Cが強位相で閉なら弱位相でも閉である。 (2)Cが凸という仮定を外しても良いか？

[73] ΩをR^Nの有界領域とし、1≦p≦∞とする。u∈L^p(Ω)に対して(u)でΩ上でのuの平均を表すものとする。このとき、以下を満たす定数Cが存在する；任意のu∈L^p(Ω)に対して ||u-(u)||_p ≦ C inf{||u-t||_p ; t∈R}

[32] X,YをBanach空間、A:X→Yを有界線形作用素とする。このとき以下は同値である；(i)R(A)はY内で閉である。(ii)C>0であって、任意のu∈Xに対してd(u,N(A))≦C||Au||を満たすものが存在する。

[63] Xを実ノルム空間、f:X→Rを線形汎関数、α∈Rとする。H={x∈X ; f(x)=α}とするとき、以下は同値である；(i)fは有界線形汎関数である。 (ii)Hは閉集合である。

[27] Xをノルム空間とする。u∈Xは、任意のf∈X'に対してf(u)=0を満たすとする。このとき、u=0である。

[51](Rieszの表現定理) HをHilbert空間とするとき、任意のf∈H'に対して、u∈Hであって、「任意のv∈Hに対してf(v)=(v,u)」を満たすものがただ一つ存在する。さらに、このu∈Hは||f||=||u||を満たす。

[2] (Ω,F,μ)を測度空間とするとき、L^p(Ω)(1≦p≦∞)は可分か？また、反射的か？

[34] XをBanach空間とするとき、双対空間X'は汎弱位相に関してHausdorffである。

[15] 有限次元ノルム空間に定まるノルムは全て同値である。